¿Puedes buscar asilo por razones de salud? Si Suiza ofrece atención médica que EE. UU. No ofrece, ¿se trata de una solicitud válida que se otorgaría?

No.
El asilo se proporciona en virtud de la Convención de las Naciones Unidas sobre el Estatuto de los Refugiados. Las principales razones por las que declara son persecución política o cultural. La falta de tratamiento médico disponible no coincide con los criterios esperados.
De la Wikipedia:

El artículo 1 de la Convención, modificado por el Protocolo de 1967, define a un refugiado como:

“Una persona que, debido a un temor fundado de persecución por motivos de raza, religión, nacionalidad, pertenencia a un determinado grupo social u opinión política, se encuentra fuera del país de su nacionalidad y no puede o, debido a ese temor, no está dispuesto a acogerse a la protección de ese país, o que, al no tener una nacionalidad y encontrarse fuera del país de su antigua residencia habitual como resultado de tales acontecimientos, no puede o, a causa de dicho temor, no está dispuesto a volver a eso..”