Se puede dar una interpretación geométrica del valor del determinante de una matriz cuadrada con entradas reales: el valor absoluto del determinante proporciona el factor de escala por el que se multiplica el área o el volumen (o un análogo de dimensión superior) bajo la transformación lineal asociada , mientras que su signo indica si la transformación conserva la orientación. Por lo tanto, una matriz 2 × 2 con determinante -2, cuando se aplica a una región del plano con área finita, transformará esa región en una con el doble del área, mientras invierte su orientación.
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Significado físico de determinante en 2D
En 2D, el determinante de una matriz, [matemática] \ begin {bmatrix} a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2 \\
\ end {bmatrix} [/ math] es un indicador de cuándo o no los vectores (a1, a2) y (b1, b2) son colineales. Si el determinante es cero, indica que los dos vectores son colineales.
El determinante anterior se puede escribir como [math] \ vec {A}. [/ Math] [math] \ begin {bmatrix} 0 & -1 \\
1 y 0 \\
\ end {bmatrix} [/ math] [math] \ vec {B} [/ math].
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 0 & -1 \\
1 y 0 \\
\ end {bmatrix} [/ math] es una matriz que gira 90 grados en sentido antihorario.
Significado físico de determinante en 3D
El producto triple escalar de los vectores A (a1, a2, a3), B (b1, b2, b3) y C (c1, c2, c3) es
[math] (\ vec {A} \ times \ vec {B}). \ vec {C} [/ math]. Aquí [math] \ vec {A} \ times \ vec {B} [/ math] representa el vector de área de un paralelogramo con lados dados por [math] \ vec {A} [/ math] y [math] \ vec { B} [/ math]. Cuando salpicamos este vector de área con C obtenemos el volumen firmado de un paralelepípedo con los tres vectores como lados.
Ahora, si intenta hacer todo esto en forma de componente, el volumen se ve así:
Volumen = [matemáticas] (\ vec {A} \ times \ vec {B}). \ Vec {C} [/ math] = [math]
\ begin {pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3 \\
\ end {pmatrix} [/ math]
Entonces, el Determinante de una Matriz es el volumen firmado del Paralelepípedo en 3D. El determinante que es cero significa que el volumen es cero, lo que significa que estos tres vectores son coplanares.
