¿La respiración y el bombeo del corazón dependen el uno del otro (significa que si un corazón deja de bombear, muere automáticamente debido a que no respira)?

No es automático
Si el corazón se detiene, entonces el flujo de sangre a los diversos órganos del cuerpo se detiene. En unos pocos minutos, la falta de flujo sanguíneo provoca el cese de la función del cerebro y detiene la respiración.
Si la respiración se detiene, no se administra oxígeno a la sangre. A medida que los niveles de oxígeno caen, todos los órganos se ven afectados. En unos minutos, el corazón también se detiene debido a la falta de oxígeno.