¿Es posible aprovechar el calor producido mientras está en la cama para almacenarlo y calentar la cama cuando sea necesario?

Sí. Aunque puede no estar en la forma en que estás pensando. La NASA desarrolló sábanas y almohadas para eliminar el calor del cuerpo y liberarlo cuando hace frío.
Puede comprarlos en algunas tiendas especializadas o en línea.
El conjunto de sábanas reguladoras de temperatura

Claro, pero probablemente sería más problemas de lo que vale. Podría imaginarse reacciones químicas endotérmicas / exotérmicas, movimientos mecánicos y almacenamiento de líquidos o capas, motores térmicos para almacenar energía en una batería …

Sin embargo, con la energía que usaste para fabricarlo, probablemente podrías utilizar una manta eléctrica durante una década.